Zugelassene Hilfsmittel zur Bearbeitung der Aufgaben sind Taschenrechner, Formelsammlung, Geodreieck und Zirkel.

(1) Lohnt sich die Abkürzung?

Aufgabenstellung

Viele Autofahrer benutzen für die Fahrt von A nach B nicht die stark befahrenen Hauptstraßen, sondern einen „Schleichweg”. Äußern Sie sich, ob die Abkürzung eine Zeitersparnis bringt, wenn man auf dem „Schleichweg” durchschnittlich mit 30 km/h und auf den Hauptstraßen durchschnittlich mit 50 km/h fahren kann.

Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeine mathematische Kompetenz

• mathematisch argumentieren (K 1)

im Rahmen der Leitidee Messen (L 2) erworben haben.

Die Aufgabe kann durch folgende erweitert werden: Ab welcher Geschwindigkeit würde sich der Schleichweg lohnen?

Lösungsskizze mit der Angabe von Leitideen und allgemeinen mathematischen Kompetenzen sowie deren Zuordnung zu Anforderungsbereichen

Lösungen und Hinweise	Leitidee	Anforderungsbereich I        II        III
Vergleich der beiden benötigten Zeiten (1) Abkürzung über schmalen Weg Länge: s1 ungefähr gleich 6 km Zeit: ca. 12 min (2) Hauptstraße Länge: s2 = 8 km Zeit: ca. 10 min →  Die Abkürzung bringt keine Zeitersparnis.	L 2	K 1

(2) Warum arbeiten Studenten? Aufgabenstellung (a) Das nebenstehende Diagramm zeigt Untersuchungsergebnisse zur Frage „Warum arbeiten Studenten?” Angenommen es wurden 2000 Studenten befragt. Wie viele Studenten haben die Aussage „zwingend notwendig für den Lebensunterhalt” angegeben? (b) Edeltraud sagt: „Den Studenten scheint es doch gar nicht so schlecht zu gehen, denn nur ungefähr ein Drittel muss "zwingend notwendig für den Lebensunterhalt" arbeiten.” Monika entgegnet: „Das stimmt doch gar nicht!” Wie kommen Edeltraud und Monika jeweils zu ihren Meinungen? Geben Sie eine graphische Darstellung der Befragungsergebnisse an, die die Meinungsverschiedenheit vermeidet. (c) Erläutern Sie, wie der Autor bei der Erstellung des Diagramms vorgegangen ist.

Deshalb arbeiten Studenten Mehrfachnennungen möglich nach Zeit-Grafik/Quelle: Sozialerhebung des Deutschen Studentenwerks 1998 (Original in: Die Zeit vom 15.7.1999)

Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Die Aufgabe ist eine komplexe, realitätsnahe Aufgabe aus dem Bereich der beschreibenden Statistik. Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen

• mathematisch argumentieren (K 1)
• mathematische Darstellungen verwenden (K 4)

im Rahmen der Leitidee Daten und Zufall (L 5) erworben haben.

Lösungsskizze mit der Angabe von Leitideen und allgemeinen mathematischen Kompetenzen sowie deren Zuordnung zu Anforderungsbereichen

	Lösungen und Hinweise	Leitidee	Anforderungsbereich I        II        III
(a)	Dem Kreisdiagramm ist zu entnehmen, dass 56% der befragten Studenten ihre eigene Berufstätigkeit „zwingend notwendig für den Lebensunterhalt” halten. Bei angenommenen 2000 Befragten ergibt sich, dass 1120 Studenten die Aussage „zwingend ...” angekreuzt haben.	L 5	K 4
(b)	Edeltraud berücksichtigt bei ihrer Aussage nur den Flächenanteil im Kreisdiagramm entsprechend. Monika begründet ihre Aussage mit der numerischen Angabe.	L 5	K 1
	Als mögliche geeignete graphische Darstellung wird ein Säulendiagramm angegeben.	L 5	K 4
(c)	Er summiert die Prozentsätze und erhält 149% (unter Berücksichtigung der Mehrfachnennungen). Diese Zahl entspricht der gesamten Kreisfläche, also 360°. Er ordnet dann zum Beispiel dem Prozentsatz 56% den Mittelpunktswinkel 56/149 * 360° zu. Analog verfährt er mit den anderen Prozentsätzen.	L 5	K 1

(3) Vom Stern zur Pyramide

Aufgabenstellung

Der nebenstehende symmetrische Stern hat folgende Eigenschaften:

Alle Seiten sowie die Strecken AC und CE haben die gleiche Länge a. AC steht senkrecht auf CE.

(a) Wie viele Symmetrieachsen hat der Stern?

(b) Beschreiben Sie eine Konstruktion des Sterns.

(c) Die Dreiecksflächen sollen so geklappt werden, dass eine Pyramide entsteht. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide für a = 5 cm.

(d) Der Stern wird so verändert, dass die Strecken AC und AB nicht mehr gleich lang sind. Die Symmetrie des Sterns bleibt jedoch erhalten. Unter welchen Bedingungen kann durch Klappen der Dreiecksflächen eine Pyramide entstehen?

Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Inhaltlicher Schwerpunkt ist der Umgang mit geometrischen Figuren und an ihnen gültigen Beziehungen.
Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen

• mathematisch argumentieren (K 1)
• Probleme mathematisch lösen (K 2),
• mathematische Darstellungen verwenden (K 4) und
• kommunizieren (K 6)

im Rahmen der Leitideen Raum und Form (L 3) sowie Messen (L 2) erworben haben.

Lösungsskizze mit der Angabe von Leitideen und allgemeinen mathematischen Kompetenzen sowie deren Zuordnung zu Anforderungsbereichen.

	Lösungen und Hinweise	Leitidee	Anforderungsbereich I        II        III
(a)	Anzahl der Symmetrieachsen: 4	L 3	K 4
(b)	Konstruktionsbeschreibung, die folgende Punkte enthält: Konstruktion des Quadrats ACEG Konstruktion der vier gleichseitigen Dreiecke (Weitere Konstruktionsmöglichkeiten existieren)	L 3	K 6
(c)	Erkennen des Quadrats als Grundfläche der Pyramide Bezeichnen der für die Bestimmung des Volumens notwendigen Teile: a - Quadratseite; hD - Dreieckshöhe; hP - Pyramidenhöhe. Erstellen des Hilfsdreiecks aus a/2, hD und hP. Bestimmung des Volumens V = 29,5 cm3 (Weitere Lösungsmöglichkeit mit Hilfe eines Dreiecks über einer Diagonalen des Quadrats)	L 2	K 2
(d)	Angabe einer der beiden Bedingungen: Die Länge der Höhe zur Basis des gleichschenkligen Dreiecks ist größer als die Hälfte der Seitenlänge des Quadrats Die Länge eines Schenkels des Dreiecks ist größer als die Hälfte der Diagonalenlänge des Quadrats.	L 3	K 1

(4) Würfel

Aufgabenstellung

Fünf Seiten eines Würfels von 3 cm Kantenlänge werden rot angestrichen, die sechste Fläche bleibt ohne Anstrich.

(a) Wie viel Prozent der Würfeloberfläche sind rot?

Der Würfel wird in Teilwürfel von 1 cm Kantenlänge zerlegt. Diese Teilwürfel werden in ein Gefäß gelegt, aus dem anschließend einer mit geschlossenen Augen entnommen wird.

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat der entnommene Würfel keine, genau eine (zwei, drei, vier) rot angestrichene Fläche(n)?

Beschreibung der Aufgabe und ihrer Zielsetzung
Bei der Bearbeitung der Aufgabe weisen die Schülerinnen und Schüler nach, inwieweit sie insbesondere die allgemeinen mathematischen Kompetenzen

• Probleme mathematisch lösen (K 2) und
• mathematisch modellieren (K 3)

im Rahmen der Leitideen Messen (L 2), Raum und Form (L 3) und Daten und Zufall (L 5) erworben haben.

Lösungsskizze mit der Angabe von Leitideen und allgemeinen mathematischen Kompetenzen sowie deren Zuordnung zu Anforderungsbereichen

	Lösungen und Hinweise	Leitidee	Anforderungsbereich I        II        III
(a)	Ca. 83% der Würfeloberfläche sind rot.	L 2	K 3
(b)	X: Anzahl der rot angestrichenen Flächen eines Teilwürfels P(X=0) = 2/27 P(X=1) = 9/27 P(X=2) = 12/27 P(X=3) = 4/27 P(X=4) = 0/27	L 3, L 5	K 2